Funciones

En matemáticas, una función f(x) es una relación entre un conjunto dado X ,el dominio y otro conjunto de elementos Y el codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x).


Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.



Representación de funciones
Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el {\rm dominio naturl],} de la función.
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".


Clasificación de las funciones
Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especifico.

'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación

.
la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.
la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Aplicación inyectiva y no sobreyectivaEn una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.


Aplicación no inyectiva y sobreyectiva
Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.



Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)
Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.


Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:

1.f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.
2.esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.
3.y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen
Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva
Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.

Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.

Resumen
Resolver ecuaciones en exel